Lemur zaprasza
Wstecz / Spis treści / Dalej ROZDZIAŁ 7 NIEPRZEMIENNA STRUKTURA OSOBLIWOŚCI Nowe narzędzie W poprzednich rozdziałach mieliśmy okazję poznać różne aspekty złośliwej natury osobliwości, pojawiających się w modelach kosmologicznych. Początkowo osobliwości wydawały się stosunkowo niegroźnymi "punktami", w których prawa przyrody tracą swoją ważność tylko dlatego, że zbyt daleko posunęliśmy się w zabiegu idealizowania badanej rzeczywistości. Potem, gdy udało się podać w miarę zadowalające kryterium istnienia osobliwości, takie przekonanie okazało się złudne. Wprawdzie osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni, lecz do jej odpowiednio zdefiniowanego brzegu, tkwią jednak głęboko w geometrycznej strukturze współczesnej teorii grawitacji. Słynne twierdzenia o istnieniu osobliwości ustaliły to ponad wszelką wątpliwość. Prawdziwe kłopoty zaczęły się. gdy Schmidt, chcąc głębiej wniknąć w naturę osobliwości, zaproponował jej nową definicję. Zgodnie z propozycją Schmidta osobliwości to punkty b-brzegu czasoprzestrzeni. Konstrukcja tego brzegu jest elegancka i zgodna z duchem ogólnej teorii względności, ale jak zauważyliśmy w niektórych zastosowaniach prowadzi do paradoksalnych wniosków: początek i koniec zamkniętego wszechświata Friedmana okazują się tym samym punktem b-brzegu i w ogóle cała czasoprzestrzeń tego wszechświata redukuje się do jednego punktu. Podobne patologie występują w wielu innych rozwiązaniach. Nie pomogły próby uogólnienia pojęcia rozmaitości, które dotychczas stanowiło geometryczną podstawę wszystkich badań dotyczących czasoprzestrzeni. Teorie przestrzeni różniczkowych, a potem strukturalnych tylko nieznacznie poprawiły sytuację. Choć wyjaśniło się, dlaczego w niektórych przypadkach wszystko redukuje się do punktu, nie udało się przejść przez tę przeszkodę. Wygląda to tak, jakby dotychczasowe metody wciąż byty niepełne lub miały "za małą zdolność rozdzielczą", by przeniknąć do tego, co się naprawdę dzieje "za tym jednym punktem". Ale teraz oto mamy do dyspozycji geometrię nieprzemienną. Jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału, powołano ją do życia, by za jej pomocą przestrzenie dotychczas uważane za patologiczne uczynić normalnymi obiektami badania. Czy nie należy jej zastosować w odniesieniu do czasoprzestrzeni z osobliwościami? Pytanie to zadałem sobie, gdy po raz pierwszy przeglądałem książkę Alaina Connesa poświęconą geometrii nieprzemiennej (por. rozdział 6). Natychmiast opowiedziałem o tym mojemu współpracownikowi. Wiesławowi Sasinowi. Pytanie było zbyt kuszące, by pozostawić je bez odpowiedzi. Wkrótce zabraliśmy się do pracy. Sądziliśmy, że jesteśmy do niej dość dobrze przygotowani. Mieliśmy doświadczenie wyniesione z pracy nad przestrzeniami różniczkowymi i strukturalnymi. Teraz trzeba było zamienić przemienne algebry funkcji na odpowiednie algebry nieprzemienne i postępować jak dotychczas. Tak się przynajmniej wydawało na początku. Potem jednak okazało się, że trzeba zdobyć umiejętność myślenia w nowym, zupełnie odmiennym środowisku pojęciowym. W wyniku wielomiesięcznych zmagań powstały dwa artykuły. W niniejszym rozdziale pragnę opowiedzieć o tym, co się nam udało uzyskać. Desyngularyzacja Przystępujemy zatem do wykonania następującego zadania: mamy oto przed sobą czasoprzestrzeń z osobliwościami, ściślej z osobliwościami, które tworzą b-brzeg tej czasoprzestrzeni (por. rozdział 4). W jaki sposób czasoprzestrzeń z b-brzegiem zamienić na przestrzeń nieprzemienną? W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, że należy w tym celu zamienić algebrę funkcji na czasoprzestrzeni z jej b-brzegiem na odpowiednią algebrę nieprzemienną. Ale jak to zrobić, gdy czasoprzestrzeń jest silnie osobliwa? Pamiętamy, że na takiej czasoprzestrzeni można określić tylko funkcje stale, które cały problem trywializują (sprowadzają całą przestrzeń, razem z osobliwościami, do jednego punktu). Czy to nie niszczy pomysłu w zarodku? Otóż nie! Okazuje się, że w wypadku przestrzeni osobliwych istnieje odpowiednia procedura postępowania. Trzeba najpierw na przestrzeni z osobliwościami skonstruować pewien obiekt geometryczny, zwany grupoidem, i dopiero na nim wprowadzić algebrę nieprzemienną (także wedle ściśle określonej receptury). Niestety, nie możemy tu podać definicji grupoidu. Zamieniłoby to nasz popularny wykład w wywód zbyt specjalistyczny. Ale wystarczy uświadomić sobie i to jest pierwsza miła niespodzianka że gmpoid, o którym tu mowa, to obiekt podobny do wiązki reperów nad czasoprzestrzenią (por. rozdział 4). Nieco ściślej wiązkę reperów nad czasoprzestrzenią dość łatwo przekształcić w grupoid nad czasoprzestrzenią z osobliwościami; będziemy go nazywać grupoidem reperów [grupoid jest w pewnym sensie ułomną grupą; ułomną ponieważ nie każde dwa elementy grupoidu melina przez siebie mnożyć (to także nie jest definicja grupoidu)]. Jest to mila niespodzianka, ponieważ pozwala od razu w punkcie wyjścia konstrukcję Schmidta, mającą przecież służyć podaniu ogólnej definicji osobliwości, włączyć w procedurę prowadzącą do geometrii nieprzemiennej. Czeka nas również druga, także bardzo miła niespodzianka. Okazuje się bowiem, że algebra nieprzemienną, którą mamy zdefiniować na grupoidzidzie reperów, jest w istocie algebrą funkcji (zespolonych), tyle że z inaczej niż zwykle zdefiniowanym mnożeniem funkcji. Zwykle mnożenie funkcji jest przemienne; tu wprowadzamy mnożenie z natury swej nieprzemienne. Jest ono zresztą dobrze znane w matematyce nazywa się konwolucją funkcji. Łatwo się domyślić, dlaczego jest to mila niespodzianka: ponieważ operowanie funkcjami jest nam dobrze znane z teorii przestrzeni różniczkowych i strukturalnych (por. rozdział 5). Wprawdzie na skutek "egzotycznego" zdefiniowania mnożenia funkcji jako konwolucji dowodzenie twierdzeń i rachunki są teraz znacznie trudniejsze, ale wiele metod przypomina te, które znamy z wcześniejszych doświadczeń. Pamiętajmy jednak o drastycznych różnicach; to one dają szansę powodzenia, bo przecież dotychczasowe metody zawiodły. Grupoid reperów, jak już wspomnieliśmy, został skonstruowany z wiązki reperów [czyli lokalnych układów odniesienia), która odgrywała tak ważną rolę w konstrukcji b-brzegu Schmidta. Grupoid reperów tym jednak różni się od wiązki reperów, że podczas gdy wiązka reperów służyła do definiowania osobliwości (w konstrukcji Schmidta), a więc sama była osobliwa, geometria grupoidu reperów jest całkiem regularna. Mamy więc następującą sytuację: czasoprzestrzeń z osobliwościami [nawet najbardziej złośliwymi) jest "pokryta" grupoidem reperów. Na grupoidzie tym zdefiniowane są funkcje, które można mnożyć w sposób nieprzemienny (przez konwolucję). Daje się więc na grupoidzie uprawiać geometrię, ale jest to geometria nieprzemienną. Budowanie tej geometrii można słusznie nazwać desyngularyzacją, czyli pozbywania się osobliwości. Gdy dysponujemy już nieprzemienną geometrią grupoidu reperów, powinniśmy zbadać, jakie informacje na temat osobliwości zawiera ta geometria. O to przecież nam chodzi. Gdyby geometria grupoidu "zapomniała" wszystko o osobliwościach, stałaby się dla nas bezużyteczna. Na szczęście tak nie jest. Okazuje się, że zapomina tylko część informacji o osobliwościach, l tak właśnie powinno być. Dzięki temu, że nieprzemienną geometria grupoidu zapomina część informacji, desyngularyzacją kończy się sukcesem; dzięki temu zaś. że część pamięta, można za jej pomocą dowodzić interesujących twierdzeń o osobliwych czasoprzestrzeniach. W dalszym ciągu postaramy się przybliżyć to zagadnienie. Jak posługiwać się nowym narzędziem? W rozdziale 6 stwierdziliśmy, że najbardziej charakterystyczną cechą przestrzeni nieprzemiennych jest ich globalność. Zwykłe (przemienne) przestrzenie są zbiorami punktów. Punkty i ich otoczenia mają ściśle określone własności matematyczne, są na przykład tak "ułożone", że można mówić o ciągłości przestrzeni lub o jej gładkości. Własności te pozwalają w każdym punkcie przestrzeni zaczepić wektor lub reper i wykorzystywać potem tak wprowadzone obiekty w zastosowaniach fizycznych: wektor może reprezentować pęd jakiejś cząstki, a reper można potraktować jako lokalny układ odniesienia. W przestrzeniach nieprzemiennych takich możliwości nie ma, na ogół daje się w nich zdefiniować tylko pewne globalne odpowiedniki pojęć lokalnych [zdarza się, że w przestrzeniach nieprzemiennych istnieją odpowiedniki punktów, ale w porównaniu z punktami znanymi ze zwykłych przestrzeni odznaczają się one "dziwnymi właściwościami", na przykład mają wewnętrzną strukturę]. W przestrzeniach nieprzemiennych nie ma wprawdzie możliwości zdefiniowania wektora zaczepionego w pewnym punkcie, ale można zdefiniować odpowiednik pola wektorowego, które jest pojęciem globalnym, czyli określonym na całej przestrzeni (a w każdym razie na obszarze wychodzącym poza małe otoczenie). Jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału, w przestrzeniach nieprzemiennych pojęcie punktu jest, do pewnego stopnia, zastąpione pojęciem stanu. To ostatnie pojęcie rna charakter globalny w tym sensie, że w takim lub innym stanie znajduje się cała przestrzeń. W fizyce teoretycznej pojęcie stanu odgrywa ważną rolę, ponieważ jest ono ściśle związane z dynamiką rozważanego układu. Układ podlega dynamice, gdy występuje kolejno w różnych stanach. Jeżeli w niektórych stanach zachowuje się patologicznie, mówimy, że są to stany osobliwe. Opis ten możemy przenieść do przestrzeni nieprzemiennych, gdzie jak już wiemy pojęcie stanu jest dobrze określone, choć ma sens ogólniejszy niż w geometrii przemiennej. I co się okazuje? W naszym modelu nie ma różnicy między stanami osobliwymi i nieosobliwymi. Sytuacja taka powstaje, oczywiście, w następstwie desyngularyzacji. opisanej w poprzednim podrozdziale. Geometria nieprzemienna nie odróżnia więc stanów osobliwych od nieosobliwych. Ale nie to Jest najważniejsze. Najważniejsze, że zarówno stany osobliwe, jak i nieosobliwe jednakowo dobrze poddają się badaniu metodami geometrii nieprzemiennej. Powstaje jednak niepokojące pytanie: jeżeli metody geometrii nieprzemiennej są globalne, to czy pozwolą rozróżnić osobliwość początkową i końcową w zamkniętym wszechświecie Friedmana? Jak pamiętamy, o tę trudność rozbijały się dotychczasowe metody badania osobliwości. Ażeby odpowiedzieć na to pytanie, musimy odwołać się do pojęcia reprezentacji algebry w przestrzeni Hilberta. Pamiętamy z rozdziału 6, że algebrę da się przełożyć na operacje wykonywane w jakiejś przestrzeni Hilberta. Jeżeli przekład ten zachowuje wszystkie istotne własności algebry, nosi nazwę reprezentacji tej algebry. Okazuje się, że nasza algebra funkcji na grupo-idzie (która definiuje rozważaną przestrzeń nie p rzemień na) ma naturalną reprezentację w pewnej przestrzeni Hilberta, a ściśle rzecz biorąc, istnieje wiele klas takich reprezentacji i tak się składa, iż początkowej osobliwości w zamkniętym świecie Friedmana odpowiada inna klasa reprezentacji niż osobliwości końcowej. W tym sensie nasz model nie skleja osobliwości. Otrzymaliśmy więc, jak się wydaje, dobre narzędzie do badania osobliwości. Dzięki niemu osiągnięto już pewne rezultaty, a przyszłość miejmy nadzieję, niedaleka pokaże, czy będzie ich więcej. Skąd biorą się osobliwości? Jeżeli na poziomie geometrii nieprzemiennej nie ma żadnych osobliwości stany osobliwe i nieosobliwe są nierozróżnialne i wszystkie poddają się badaniu to skąd biorą się osobliwości na poziomie geometrii czasoprzestrzeni? Albo inaczej: jak z nieprzemiennej geometrii grupoidu można otrzymać zwykłą przemienną geometrię czasoprzestrzeni? Otóż dokonuje się to w dwu etapach. Przyjrzyjmy się im nieco dokładniej. Etap pierwszy: jak z geometrii nieprzemiennej odzyskać grupoid? W nieprzemiennej algebrze często istnieją elementy, mające tę własność, że można je pomnożyć przez każdy inny element tej algebry w sposób przemienny Wszystkie tego rodzaju elementy tworzą zbiór, który nazywamy centrum tej algebry. Nasza algebra na grupoidzie także ma swoje centrum. Jest ono również algebrą, ale Już algebrą przemienną. Można dowieść, posługując się znanym twierdzeniem Gelfanda-Neimarka-Segala [twierdzenie to mówi, że każda algebra przemienna (czyli także centrum algebry nieprzemiennej) jest równoważna pewnej algebrze funkcji, a algebra taka jak wiemy opisuje pewną przestrzeń i jest to, oczywiście, przestrzeń zwykła (tzn. przemienna)], że centrum naszej algebry odtwarza geometrię grupoidu reperów, i to rozumianą w sposób tradycyjny, to znaczy z dobrze określonymi punktami, ich otoczeniami i innymi lokalnymi pojęciami, znanymi ze zwykłej geometrii. Etap drugi: jak z grupoidu odzyskać czasoprzestrzeń? Pamiętamy, że grupoid został skonstruowany jako pewna obszerniejsza przestrzeń nad czasoprzestrzenią (z osobliwościami). Chcąc z grupoidu odzyskać czasoprzestrzeń, należy pewne punkty grupoidu utożsamić ze sobą. Operacja taka jest dobrze znana i nazywa się konstruowaniem przestrzeni ilorazowej. Bardzo łatwo, niemal naocznie, pokazać, że podczas konstruowania przestrzeni ilorazowej z grupoidu, czyli w procesie sklejania pewnych obszarów grupoidu ze sobą, powstają osobliwości. Niektóre z nich mogą być osobliwościami złośliwymi. W tym miejscu winien jestem Czytelnikowi dodatkowe wyjaśnienie. Powyższy opis metod "odzyskiwania geometrii czasoprzestrzeni" ma z konieczności postać uproszczoną. Techniczne szczegóły są znacznie bardziej wyrafinowane, ale też dają bardziej satysfakcjonujący obraz. Okazuje się na przykład, że przejście od nieprzemiennej geometrii grupoidu do zwykłej geometrii czasoprzestrzeni wcale nie musi mieć charakteru skokowego, jak sugerowałby powyższy opis (na przejście skokowe wskazywałoby zacieśnianie algebry nieprzemiennej do jej Geometria nieprzemienna nie tylko daje skuteczną metodę badania osobliwości, ale jak widzieliśmy odpowiada również na pytanie o genezę czasoprzestrzeni. W metodzie tej osobliwości nie współtworzą od początku matematycznej struktury teorii, lecz pojawiają się jako produkt przechodzenia od geometrii nieprzemiennej do zwykłej, przemiennej geometrii czasoprzestrzeni. Czy wynik ten wiąże się z wyborem takiej, a nie innej metody badania, czy też kryją się w nim jakieś głębsze sugestie? Przekonamy się o tym w następnym rozdziale. |